Probabilidade no Enem

Olá, galera! Nas últimas provas do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), por diversas vezes temos visto questões que envolvem probabilidade. Já chegou a acontecer de até mesmo duas ou três questões sobre esse assunto caírem em uma mesma prova de Matemática e suas Tecnologias. Por essa razão, esse assunto requer nossa atenção especial! Vamos então relembrar alguns conceitos simples para que não haja nenhuma dúvida no momento de responder às questões sobre probabilidade no Enem.

Um dos principais cálculos de probabilidade é dado pela fórmula:

P(A) = n(A)
            n(Ω)

P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A, n(A) é o número de elementos de A e n(Ω) é o número de elementos do espaço amostral Ω.
Outro ponto importante é a probabilidade condicional, que calcula a probabilidade condicional de B em relação a A:

P(B | A) = P(B  A)
                  P(Ω)

A partir daí, temos o cálculo da probabilidade de eventos simultâneos: 

P(B  A) = P(A | B) . P(B) = P(A | B) . P(A)

ou, simplesmente, 

P(B  A) = P(A).P(B)

Agora que já nos lembramos dos principais conceitos, vamos resolver dois exemplos sobre probabilidade no Enem. As questões são das últimas duas provas aplicadas pelo Inep:

Questão com probabilidade no Enem de 2012

Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul.
b) Amarela.
c) Branca.
d) Verde.
e) Vermelha. 

Resolução:

Vamos verificar qual é a probabilidade de o jogador ganhar de acordo com cada cor escolhida. Para resolver essa questão, utilizaremos a ideia de probabilidade da união de dois eventos:

P₁ → Bola Amarela

Para calcular a probabilidade, consideraremos: P_Am: probabilidade de retirar a bola amarela; P_Am: probabilidade de não retirar a bola amarela; U₁: urna 1; U₂: urna 2. Podemos ler o cálculo de probabilidades da seguinte maneira:

“A probabilidade de ocorrer P₁ é igual à probabilidade de retirar a bola amarela na 1ª urna multiplicada pela probabilidade de retirar a bola amarela na 2ª urna somada com o produto da probabilidade de não retirar a bola amarela na 1ª urna pela probabilidade de retirar a bola amarela na 2ª urna” 

P₁ = PAm . PAm + PAm . PAm
          U1      U2       U1      U2
P₁ =  4  .  1  +  6  .  0 
        10    11    10   11
P₁ =   4   +   0  
       110    110
P₁ =   4   = 3,63%
         110               

P2 → Bola Azul

P₁ = P_Az . P_Az + P_Az . P_Az
         U1     U2     U1      U2
P₁ =  3  .  2  +  7  .  1 
        10    11    10   11 
P₁ =   6   +   7  
       110    110
P₁ =   13   = 11,81%
         110                

P3 → Bola Branca

P₁ = P_Br . P_Br + P_Br . P_Br
         U1     U2     U1      U2
P₁ =  2  .  3  +  8  .  2 
        10    11    10   11 
P₁ =   6   +   16  
       110    110
P₁ =   22   = 20%
              110                 

P4 → Bola Verde 

P₁ = P_Vd . P_Vd + P_Vd . P_Vd
         U1     U2     U1      U2
P₁ =  1  .  4  +  9  .  3 
        10    11    10   11 
P₁ =   4   +   27  
       110    110
P₁ =   31   = 28,18%
         110              

P5 → Bola Vermelha 

P₁ = P_Vm . P_Vm + P_Vm . P_Vm
         U1     U2     U1      U2
P₁ =  0  .  4  +  10  .  4 
        10    11    10    11 
P₁ =   0   +   40  
       110     110 
P₁ =   40   = 36,36%
         110                 

Podemos constatar que a maior probabilidade é obtida escolhendo-se a cor vermelha. Portanto, a alternativa correta é a letra e. 

Questão com probabilidade no Enem de 2013

Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

Questão com probabilidade no Enem de 2013

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

a)  1 .
    20
b)   3  .
    242
c)  5 .
    22
d)  6 .
    25
e) 7 .
   15

Resolução: 

Primeiramente, vamos determinar o espaço amostral desse problema. Considerando cada comprador registrado no gráfico, podemos dizer que nos meses de janeiro, fevereiro e março houve 220 compradores. Destes, 100 eram compradores do produto A, e 120, compradores do produto B. 

Vamos calcular a probabilidade de o comprador do produto A ter feito suas compras em fevereiro. Esse cálculo será dado pelo quociente do número de vendas de A em fevereiro pelo número de vendas de A nos três meses:

P(A) =        30         
           10 + 30 + 60
P(A) =  30 
            100
P(A) =  3 
            10

Analogamente, vamos calcular a probabilidade de o comprador do produto B ter realizado sua compra em fevereiro:

P(B) =        20         
           20 + 20 + 80
P(A) =  20 
            120
P(A) =  1 
            6

Vamos agora calcular a probabilidade da ocorrência desses dois eventos simultaneamente:

P(A U B) =  3  .  1 
                   10    6 
P(A U B) =  3 
                  60
P(A U B) =  1 
                 20

Portanto, a alternativa correta é a letra a. 

Se você deseja aprender um pouco mais sobre probabilidade, confira os exercícios que selecionamos para você: Exercícios sobre Probabilidade Condicional e Exercícios sobre Propriedades da Probabilidade.

Bons estudos!