As questões de matemática do Exame Nacional do Ensino Médio do ano de 2016 ficaram marcadas pelo mesmo padrão de contextualização e profundidade dos anos anteriores. Entretanto, algumas questões destacaram-se pelo grau de dificuldade apresentado.
Escolhemos as duas questões de Matemática mais difíceis do Enem 2016 para que você possa tentar resolvê-las e ver como se sai. Vamos lá?
A primeira questão foi considerada como uma das mais difíceis porque, além de exigir muitas das propriedades dos logaritmos na solução de uma função logarítmica, também espera um alto nível de interpretação e montagem de equações e funções. A segunda questão apresenta pouquíssimos dados e exige alto nível de abstração e estratégia em sua resolução.
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Primeira questão
(ENEM – 2016, questão 148 – caderno rosa) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000°C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 minutos. Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11). O tempo decorrido, em horas, até que a liga atinja 30° é mais próximo de
a) 22
b) 50
c) 100
d) 200
e) 400
Solução
Os dados desse exercício são:
Temperatura inicial = 3000°C
Temperatura final = 30°C
Tempo (t) = ?
Primeiramente, observe que calcular a redução de 1% sobre uma quantidade é o mesmo que multiplicar essa quantidade por 0,99. Sendo assim, o número de vezes que o valor 3000°C terá que ser multiplicado por 0,99 pode ser representado pela potência (0,99)t/2.
O expoente dessa potência é t/2 porque o tempo em que se perde 1% da temperatura é 30 minutos, ou seja, meia hora. Como o tempo é em horas, meia hora = t/2.
Logo, a cada hora, o valor 3000 deve ser multiplicado por 0,99 duas vezes.
Sendo assim, para a função temperatura e tempo, representada por T(t), temos a seguinte expressão:
T(t) = 3000(0,99)t/2
Note que T(t) é igual à temperatura da liga após determinado período de tempo, logo, se substituirmos T(t) por 30°C e calcularmos t, encontraremos o tempo gasto para que a temperatura caia a 30°C. Assim:
T(t) = 3000(0,99)t/2
30 = 3000(0,99)t/2
30 = (0,99)t/2
3000
1 = (0,99)t/2
100
1 = (0,99)t/2
102
10– 2 = (0,99)t/2
Para encontrar um expoente em uma equação, aplicamos logaritmo.
log10– 2 = log(0,99)t/2
Pelas propriedades dos logaritmos, teremos:
– 2 = t ·log(0,99)
2
– 4 = t·log(99/100)
– 4 = t·(log99 – log100)
Observe que 99 = 9·11 = 32·11 e log100 = log102 = 2.
– 4 = t·(log99 – log100)
– 4 = t·(log[9·11] – 2)
– 4 = t·(2log3 + log11 – 2)
– 4 = t·(2log3 + log11 – 2)
– 4 = t·(2·0,477 + 1,041 – 2)
– 4 = t·(0,954 + 1,041 – 2)
– 4 = t·(– 0,005)
t = 4
0,005
t = 200h
Gabarito: alternativa D
Segunda questão
(ENEM – 2016, questão 173 – caderno rosa) A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.
O índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão.
A
A + B
em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico. A empresa tem como meta tornar seu índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela percebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
a) 40%
b) 20%
c) 60%
d) 30%
e) 70%
Solução
A meta desejada é o percentual do salário recebido pelos funcionários com maior remuneração. A coordenada x do ponto P representa o percentual de funcionários de menor salário e, consequentemente, a coordenada y representa o percentual dos salários que eles recebem.
Com os dados disponibilizados nesse exercício, é possível encontrar a coordenada y do ponto P e, na sequência, calcular a parcela percentual percebida pelos funcionários mais bem pagos.
Primeiramente, é necessário fazer com que o índice Gini seja igual a 0,3 para encontrar alguma relação entre A e B. Observe:
A = 0,3
A + B
A = 0,3(A + B)
A = 0,3A + 0,3B
A – 0,3A = 0,3B
0,7A = 0,3B
Multiplicando ambos os membros da equação por 10, teremos:
7A = 3B
A = 3
B 7
A = 3B
7
Observe agora que a área do triângulo formado pela união entre as áreas de A e B é igual à soma das áreas de A e B. Sendo assim:
A + B = 100·100
2
A + B = 10000
2
A + B = 5000
Agora, a partir do valor algébrico de A, substitua-o nesta equação:
A + B = 5000
3B + B = 5000
7
3B + 7B = 5000
7 7
10B = 5000
7
10B = 5000·7
B = 35000
10
B = 3500
Consequentemente A = 1500.
Observe que B é formado por duas figuras geométricas. Uma é um triângulo, cuja base vai de 0 a 90 no eixo x e a altura é y, e a outra é um trapézio, cuja base maior, que mede 100, está para a direita, a altura é 10 e sua base menor também tem y como comprimento (lembre-se de que y é a coordenada do ponto P). A área de B é determinada pela soma das áreas dessas duas figuras.
B = 90·y + (100 + y)·10
2 2
3500 = 90·y + (100 + y)·10
2 2
3500 = 45y + 500 + 5y
3500 – 500 = 50y
3000 = 50y
y = 60
Como dito, y é a coordenada de P que representa a parcela percebida por 90% dos funcionários: aqueles que recebem os salários menores. Essa parcela é 60%. Dessa maneira, o percentual percebido pelos funcionários mais bem pagos deve ser de 40%.
Gabarito: alternativa A
