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Em 15/08/2014 12h21, atualizado em 15/08/2014 14h43

Equação logarítmica no Enem

Enem

Questões sobre equação logarítmica no Enem exigem conhecimentos sobre as propriedades operatórias dos logaritmos. Por Amanda Gonçalves Ribeiro
Relembre como se resolve uma equação logarítmica e arrase no Enem!
Relembre como se resolve uma equação logarítmica e arrase no Enem!
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Olá, pessoal! Vocês já devem ter observado que em todos os anos há a ocorrência de questões sobre equação logarítmica no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio). O objetivo de nossa dica de hoje é que você recorde como se resolve esse tipo de equação para não restar nenhuma dúvida! Para tanto, recomendamos que você dê uma revisada nas propriedades operatórias dos logaritmos.

Equação logarítmica é toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando ou na base. Ao resolvê-la, é possível encontrar duas situações:

1ª) Igualdade entre dois logaritmos de mesma base

logn x = logm y

Nesse caso, se a base for a mesma e se tivermos x = y > 0, poderemos desconsiderar o logaritmo e estabelecer a igualdade apenas entre os logaritmandos, isto é, x = y. 

2ª) Igualdade entre um logaritmo e um número real

logn x = y

Nesse caso, podemos aplicar a propriedade básica da resolução de logaritmos. Para isso, basta calcular ny = x
Vamos agora resolver duas questões sobre equação logarítmica no Enem de edições anteriores:

Questão com equação logarítmica no Enem de 2013

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27
b) 36
c) 50
d) 54.
e) 100.

ResoluçãoDe acordo com o enunciado do exercício, sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Aplicando esse valor à expressão M(t) = A · (2,7)kt, podemos substituir o tempo t por 30 e a massa A, quando t = 30, por A/2:

M(t) = A · (2,7)kt
 A  = A · (2,7)k.30
2                     
(2,7)30.k =  1  
                           2             
(2,7)30.k = 2 – 1

  
Agora basta aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:

log (2,7)30.k = log 2 – 1
30k. log 2,7 = – 1. log 2 

Como log10 2 = 0,3:

30k. log 2,7 = – 1. 0,3
30k. log 2,7 = – 0,3
log 2,7 =  – 0,3 
                 30k
log 2,7 =  – 0,01  (*)
             k

Reserve a equação (*), logo mais ela nos será necessária. Você se lembra de que a pergunta do exercício era “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”. Pois bem, precisamos descobrir em quanto tempo a massa será apenas 10% da massa inicial, ou seja, 0,1A. Assim sendo:

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0,1A = A · (2,7)kt 
(2,7)kt = 0,1

Aplicando logaritmos em ambos os lados da igualdade, teremos:

log (2,7)kt = log 0,1
kt. log 2,7 = – 1

Mas pela equação (*), podemos substituir log 2,7:

kt. log 2,7 = – 1
kt. (– 0,01) = – 1
k
– 0,01t = – 1
t =   1   
     0,01
t = 100

Portanto, em 100 anos, a massa do césio-37 será reduzida para 10¢ da quantidade inicial. A alternativa correta é a letra e.

Questão com equação logarítmica no Enem de 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, subsituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:

Mw = – 10,7 +  2 log10 (M0)
       3

Onde M0 é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅ cm.
O terremo de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw= 7,3. 

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina⋅ cm)?

a) 10 – 5,10
b) 10 – 0,73
c) 10 12,00
d) 10 21,65
e) 10 27,00

ResoluçãoDe acordo com o exercício, podemos utilizar a seguinte equação logarítmica para medir a magnitude dos terremotos:

Mw = – 10,7 +  2 log10 (M0)
       3

Se o terremoto de Kobe teve magnitude Mw = 7,3, basta substituirmos esse valor na equação logarítmica para determinar seu momento sísmico M0:

Mw = – 10,7 +  2 log10 (M0)
       3
7,3 = – 10,7 +  2 log10 (M0)
       3
7,3 + 10,7 =  2 log10 (M0)
     3
18 =  2 log10 (M0)
3       
 2 log10 (M0) = 18
3                        
2.log10 (M0) = 18.3
log10 (M0) = 54
                  2
log10 (M0) = 27

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

M0 = 1027

Portanto, o momento sísmico do terremoto de Kobe foi de M0 = 1027 dina⋅ cm e a alternativa correta é a letra e.

Se você deseja aprender um pouco mais sobre equação logarítmica, confira os exercícios que selecionamos para você: Exercícios sobre Equação Logarítmica e Exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos.

Bons estudos!

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