Olá, estudantes! Vocês se lembram das relações trigonométricas? Entre elas, as três mais importantes são: seno, cosseno e tangente. Elas podem ser estabelecidas e aplicadas na trigonometria do triângulo retângulo. Podemos estabelecer as propriedades do triângulo retângulo a partir de um triângulo qualquer que possua um ângulo reto, como o da figura a seguir:
Cada ângulo não reto possui um cateto oposto e um cateto adjacente. Apenas a hipotenusa é a mesma para ambos os ângulos.
Seja α (α ≠ 90°) um ângulo pertencente a um triângulo retângulo qualquer, as relações trigonométricas são calculadas da seguinte forma:
seno → sen α = cateto oposto a α
hipotenusa
cosseno → cos α = cateto adjacente a α
hipotenusa
tangente → tan α = cateto oposto a α
cateto adjacente a α
Vale lembrar que, para os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podemos utilizar a tabela trigonométrica a seguir que dá uma “mãozinha” nos cálculos:
Essa tabela trigonométrica estabelece os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°)
Vejamos como costumam aparecer as questões que envolvem seno, cosseno e tangente no Enem:
Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km.
b) 1,9 km.
c) 3,1 km.
d) 3,7 km.
e) 5,5 km.
Para resolver essa questão, basta calcular a tangente do ângulo de 60°. Lembrando que a tangente é o quociente do lado oposto pelo lado adjacente ao ângulo. O valor da medida do lado adjacente está na figura da questão, 1,8 km. A medida do lado oposto ao ângulo de 60° é o valor que estamos procurando e pode ser chamada de x. Na tabela trigonométrica, podemos ver que a tangente de 60° vale √3. Façamos então:
tan 60° = cateto oposto a 60°
cateto adjacente a 60°
√3 = x
1,8
x = 1,8.√3
x = 1,8.1,73
x = 3,114 km
A alternativa correta é aquela que mais se aproxima do resultado encontrado, portanto, a letra c.
Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:
a) 1000 m.
b) 1000√3 m.
c) 2000 √3/3 .
d) 2000 m.
e) 2000√3 m.
A menor distância entre o ponto P e a trajetória do barco é uma reta perpendicular. Traçando essa nova reta, é possível visualizar dois triângulos. Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale sempre 180°, podemos identificar os demais ângulos do problema:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, podemos encontrar os valores dos ângulos que faltam.
Observe que o triângulo ABP possui dois ângulos internos iguais, portanto, ele é isósceles. Sendo assim, podemos afirmar que os lados AB e BP possuem a mesma medida, ambos valem 2000 m.
Seja x o comprimento do lado CP, podemos utilizar o cálculo do seno de 60° ou do cosseno de 30° para descobrir o valor de x. Calculando o cosseno de 30°, temos:
cos 30° = cateto adjacente a 30°
hipotenusa
√3 = x
2 2000
2x = 2000√3
x = 2000√3
2
x = 1000√3 m
A alternativa correta é a letra b.
Para aprofundar seu estudo, não deixe de resolver alguns exercícios que a equipe do Brasil Escola separou para você: Exercícios sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo e Exercícios sobre Seno, Cosseno e Tangente.
Bons estudos!
