Equação logarítmica no Enem

Olá, pessoal! Vocês já devem ter observado que em todos os anos há a ocorrência de questões sobre equação logarítmica no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio). O objetivo de nossa dica de hoje é que você recorde como se resolve esse tipo de equação para não restar nenhuma dúvida! Para tanto, recomendamos que você dê uma revisada nas propriedades operatórias dos logaritmos.

Equação logarítmica é toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando ou na base. Ao resolvê-la, é possível encontrar duas situações:

1ª) Igualdade entre dois logaritmos de mesma base

log_n x = log_m y

Nesse caso, se a base for a mesma e se tivermos x = y > 0, poderemos desconsiderar o logaritmo e estabelecer a igualdade apenas entre os logaritmandos, isto é, x = y. 

2ª) Igualdade entre um logaritmo e um número real

log_n x = y

Nesse caso, podemos aplicar a propriedade básica da resolução de logaritmos. Para isso, basta calcular n_y = x. 
Vamos agora resolver duas questões sobre equação logarítmica no Enem de edições anteriores:

Questão com equação logarítmica no Enem de 2013

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)^kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27
b) 36
c) 50
d) 54.
e) 100.

Resolução: De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Aplicando esse valor à expressão M(t) = A · (2,7)^kt, podemos substituir o tempo t por 30 e a massa A, quando t = 30, por A/2:

M(t) = A · (2,7)^kt
 A  = A · (2,7)k.30
2                     
(2,7)^30.k =  1  
                           2             
(2,7)^30.k = 2 ^{– 1}
  
Agora basta aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:

log (2,7)^30.k = log ^{2 – 1}
30k. log 2,7 = – 1. log 2 

Como log10 2 = 0,3:

30k. log 2,7 = – 1. 0,3
30k. log 2,7 = – 0,3
log 2,7 =  – 0,3 
                 30k
log 2,7 =  – 0,01  (*)
             k

Reserve a equação (*), logo mais ela nos será necessária. Você se lembra de que a pergunta do exercício era “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”. Pois bem, precisamos descobrir em quanto tempo a massa será apenas 10% da massa inicial, ou seja, 0,1A. Assim sendo:

0,1A = A · (2,7)^kt 
(2,7)^kt = 0,1

Aplicando logaritmos em ambos os lados da igualdade, teremos:

log (2,7)^kt = log 0,1
kt. log 2,7 = – 1

Mas pela equação (*), podemos substituir log 2,7:

kt. log 2,7 = – 1
kt. (– 0,01) = – 1
k
– 0,01t = – 1
t =   1   
     0,01
t = 100

Portanto, em 100 anos, a massa do césio-37 será reduzida para 10¢ da quantidade inicial. A alternativa correta é a letra e.

Questão com equação logarítmica no Enem de 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, subsituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. M_w e M₀ se relacionam pela fórmula:

M_w = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Onde M₀ é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅ cm.
O terremo de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_w= 7,3. 

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina⋅ cm)?

a) 10 ^{– 5,10}
b) 10 ^{– 0,73}
c) 10 ^12,00
d) 10 ^21,65
e) 10 ^27,00

Resolução: De acordo com o exercício, podemos utilizar a seguinte equação logarítmica para medir a magnitude dos terremotos:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Se o terremoto de Kobe teve magnitude M_w = 7,3, basta substituirmos esse valor na equação logarítmica para determinar seu momento sísmico M₀:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 + 10,7 =  2 log₁₀ (M₀)
     3
18 =  2 log₁₀ (M₀)
3       
 2 log10 (M₀) = 18
3                        
2.log₁₀ (M₀) = 18.3
log₁₀ (M₀) = 54
                  2
log₁₀ (M₀) = 27

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

M₀ = 1027

Portanto, o momento sísmico do terremoto de Kobe foi de M₀ = 10²⁷ _dina⋅ cm e a alternativa correta é a letra e.

Se você deseja aprender um pouco mais sobre equação logarítmica, confira os exercícios que selecionamos para você: Exercícios sobre Equação Logarítmica e Exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos.

Bons estudos!